מתפזרים

יעקוב שאל אותי שאלה מעניינת, והיא נראתה לי כמו סיבה מספיק טובה לכתוב פוסט (ואולי אף סידרה של פוסטים). יעקוב שאל:
יש לך מיכל עם תמיסה מימית עם ריכוז גבוה של חומר מסויים באיזור אחד של התמיסה, ונניח שהחומר הזה לא מגיב עם מים או מתפרק במים. עכשיו, אחרי זמן מסויים אפשר יהיה להגיד שהריכוז של החומר הזה בתמיסה יהיה אחיד. אני יודע שבנוזלים המולקולות נעות בחופשיות בין עצמן, אבל כדי שריכוז התמיסה יהיה אחיד, צריך שרמת המקרו תהיה כאן תנועה של מולקולות החומר המומס מהאיזור שבו הריכוז שלו היה גבוה אל שאר המיכל. מה שקרה כאן בגדול זה שהנוזל התערבב עם עצמו, אז הענקת אנרגיה קינטית למולקולות של הנוזל.
אין כאן דרישה של אנרגיה כלשהי? מאיפה באה האנרגיה הזאת?
לפני שנענה על השאלה הזו אני רוצה לעצור שניה, ולהתחפש לרשומה מהבלוג השכן, ולדבר קצת על קומבינטוריקה בסיסית. גדי הציג את הנושא במספר פוסטים נפלאים. אם אתם מתקשים לעקוב אחרי החישובים שלי, אתם מוזמניים לקרוא אצלו, ואם אתם רוצים להרחיב על הנושא, אז אפשר גם.

נתחיל מבעיה פשוטה יחסית: אני רוצה להטיל 100 מטבעות הוגנים – מטבעות שההסתברות שיראו עץ שווה להסתברות שיפלו על פאלי. ראשית, נחשב את ההסתברות לכך שהמטבע הראשון נפל על עץ, ואילו כל האחרים נפלו על פאלי: מספר הצירופים האפשריים להטלות של 100 מטבעות הוא \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots2\) וכך 100 פעמים, או,
\[2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots2=2^{100}\approx10^{30}\]

כלומר, מספר עצום ששווה (בערך) ל-\(1\) ואחריו \(30\) אפסים. לעומת זאת, מספר הצירופים האפשריים לכך שהמטבע הראשון יצא עץ וכל השאר פאלי הוא בדיוק 1 – הרי בחרנו את מצבן של כל המטבעות. אם כך, ההסתברות שהצירוף שבחרנו יתקיים מתוך כל הצירופים האפשריים הוא מספר הצירופים שאנחנו רוצים (\(1\)) חלקי מספר הצירופים הקיימים (\(10^{30}\)), מספר זה,

\[\frac{1}{10^{30}}=10^{-30}=0.\underbrace{00\cdots}_{\times100}1\]

הוא מספר זעום למדי – הסיכוי שתצא התוצאה שציינו, קטן למדי.

אז בואו נקל על עצמנו מעט: עתה, במקום שנרצה שהמטבע הראשון יצא עץ וכל המטבעות האחרים יצאו פאלי, מספיק לנו שאחד (ובדיוק אחד) מהמטבעות יצא עץ: רק המטבע הראשון או רק המטבע השני או רק המטבע השלישי – וכך הלאה. עכשיו, יש לנו \(100\) צירופים אפשריים שאנחנו מוכנים לקבל והסיכוי לקבל אחד מהם הוא
\[\frac{100}{10^{30}}=10^{-28}\]

מספר קטן למדי, אך גדול (פי \(100\)) מהמספר הקודם.

נמשיך לשחק עם המטבעות, אך הפעם נסבך מעט את החישוב (ונהפוך אותו דומה יותר לחישוב שבאמת אכפת לנו ממנו): נסדר \(100\) מטבעות בשורה, בסדר כלשהו, אך הפעם, נניח אותם בזהירות כך שאחד המטבעות יראה עץ, ואילו \(99\) המטבעות האחרים יראו פאלי. אם סידרנו את המטבעות באקראי, מה הסיכוי לכך שהמטבע הראשון יראה עץ, וכל האחרים פאלי? גם את זה ניתן לחשב במדויק על ידי ספירת כל האפשרויות לסידור המטבעות:
image: 0_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_coins_in_a_row.png
שורת מטבעות ובראשה מטבע המצביע "עץ"
כדי לסדר באקראי את כל המטבעות בסדר כלשהו, נבחר בשיטה הבאה: נסתכל על שורה של \(100\) מטבעות שכולם מציגים "פאלי", נבחר את אחד המטבעות (ומטבע אחד בלבד) ונהפוך אותו. עתה, המטבע שהפכנו יציג עץ. קיבלנו שורה של \(99\) מטבעות שמציגים פאלי ומטבע אחד שמציג עץ. היו לנו \(100\) אפשרויות לבחור מבינהן מטבע להפיכה, ולכן קיבלנו שיש רק \(100\) אפשרויות לסדר את המטבעות כך שאחד מהם יציג "עץ" והשאר יציגו פאלי.
אם כן, נרצה לשאול מה הסיכוי שהמטבע הראשון מתוך השורה יצביע על עץ. בשיטת הספירה השניה זה פשוט: בחרנו להפוך את המטבע הראשון בשורה כך שיציג עץ, וזוהי בחירה אחת מתוך \(100\) בחירות אפשריות. לכן, ההסתברות שמצב כזה יתרחש עבור סידור אקראי של \(100\) מטבעות כאלו הוא \(\frac{1}{100}\).
אפשר לסבך את השאלה: אם יש לנו 2 "עצים", מה ההסתברות ששניהם יופיעו בזה אחר זה בראש השורה? ראשית, נחשב את מספר הסידורים האפשריים של \(2\) מטבעות עץ בין \(98\) מטבעות שמראים פאלי: ראשית נבחר עבור מטבע העץ הראשון מקום אחד מתוך \(100\) מקומות אפשריים, ולאחר מכן נבחר עבור העץ השני מקום אחד מתוך \(99\) המקומות שונותרו ללא מטבע עץ. מספר האפשרויות כאן הוא
\[100\cdot99=\frac{100\cdot99\cdot98\cdots2\cdot1}{98\cdot98\cdots2\cdots1}=\frac{100!}{98!}\]

אבל רגע: אם היינו ממקמים קודם את המטבע הראשון במקום של המטבע השני ואחר כך את המטבע השני במקום של המטבע הראשון, היינו מקבלים את אותה התוצאה. כלומר, מספר הסידורים השונים קטן פי 2 מהמספר שחישבנו! מספר הסידורים האפשרים הוא

\[\frac{100!}{98!\cdot2!}\]

באופן כללי, אם יש לנו שורה של \(n\) מטבעות ונרצה להפוך (או "לבחור") מתוכם \(k\) מטבעות, מספר הבחירות האפשריות (אם אין חשיבות לסדר הבחירה) הוא

\[{n \choose k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\]

כאשר הסימון \({n \choose k}\) מכונה "\(n\) בחר \(k\).

עתה, משהבנו מה ההסתברות לצירופים של מטבעות, אפשר לחזור לדבר על פיזיקה ועל תהליכים פיזיקאליים, ולענות על השאלה שבראש הרשומה. ראשית, נשים לב שבדומה לאלקטרונים במודל דרודה, גם מולקולות המומס וגם מולקולות הנוזל נעים כל הזמן במהירות עצומה1. אך הם נעים לכיוונים אקראיים ומשנים את כיוונם כל הזמן (למשל, על ידי התנגשויות של מולקולות אלו באלו) והמהירות הממוצעת שלהן היא אפס. אם כך, אם מהירותו של "ענן" המומס (מהירותו של הענן היא מנהסתם מהירות מרכז המסה, או סכום המהירויות של כל החלקיקים שהוא אפס) מדוע, אחרי שמחכים מספיק זמן, הנוזל מעורבב כולו? אפשר לדבר על המנגנון המדויק השגורם להתפשטות, אבל אני אשמור את זה לפעם אחרת2. המהירות של חלקיקי המומס וחלקיקי הנוזל מכתיבה (או – מגדירה את) האנרגיה שלהם, ושולטת על קצב התהליך, אך כל עוד היא גדולה מאפס, במודל זה היא אינה משפיעה על התוצאה הסופית. הפעם אני רוצה לדבר על מה שקורה אם מחכים הרבה זמן, בשיווי משקל.
אנחנו רוצים לדבר על מכניקה סטטיסטת בשיווי משקל. החלק הזה של פיזיקה שדן ב"מה קורה למערכת עם ממש הרבה רכיבים3 אחרי שמחכים מספיק זמן". אחת ההנחות הבסיסיות של התורה הזו היא ההנחה של בולצמן: "מערכת מבודדת מהסביבה תמצא בהסתברות שווה בכל אחד מהמצבים הנגישים של המערכת". כשאני מדבר על מצבים נגישים אני מדבר על כל המצבים של המערכת שלכולם סט נתון של מאפיינים חיצוניים, למשל, מספר חלקיקים קבוע, אנרגיה קבועה, נפח קבוע וכן הלאה. המקרה שלנו פשוט יחסית: כל המצבים האפשריים של המערכת הם פשוט כל המיקומים האפשריים של \(m\) מולקולות מומס בתוך \(N\) מולקולות נוזל. ולספור אותם זה בדיוק אותו דבר כמו לספור סידורים שונים של מטבעות.
כדי להקל על החישוב, נציג את המודל הבא: נסתכל על חלקיקי מומס (בכחול) שנמצאים בתוך חלקיקי נוזל (בלבן). כל משבצת יכולה להצבע בכחול או בלבן, כאשר מספר המשבצות הכחולות (או הלבנות) נשאר קבוע. כל המידע שיש לנו על המערכת הוא הצבע של כל אחת מהמשבצות. מודל כזה נקרא "גז סריג" (lattice gas) והוא מודל פשוט ונוח לחישוב המאפשר לדון על (חלק מהתכונות של) נוזלים וגזים.
image: 1_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_intial.pngimage: 2_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_max_entropy.png
גז שריג. מימין – כל חלקיקי המומס מסודרים בפינה השמאלית העליונה. משמאל: ערבוב אקראי של חלקיקי המומס.
ראשית, "נזריק" את חלקיקי המומס, כך שכולם מרוכזים בפינה השמאלית העליונה. אחרי שנחכה מספיק זמן, המערכת יכולה להתקיים בכל אחד מהסידורים האפשריים של \(36\) חלקיקי מומס בתוך \(256\) חלקיקי נוזל. אז בואו נספור מה יכול לקרות. נתחיל ממספר דוגמאות:
כמה אפשרויות יש לסדר את המערכת? אנחנו רוצים למקם \(36\) חלקיקים בתוך 256 "תאים". אז, את החלקיק הראשון נמקם ב-1 מתוך \(256\) תאים אפשריים, עבור השני אפשר לבחור רק \(255\) תאים, עבור השלישי – \(254\) תאים. וכך הלאה – 36 חלקיקים. קיבלנו
\[256\cdot255\cdot254\cdots220=\frac{256!}{\left(256-36\right)!}\]

אבל שוב, אין חשיבות לסדר של החלקיקים, לכן יש לחלק במספר האפשרויות "לסדר" את חלקיקי המומס בינהן, \(36!\) וקיבלנו

\[{256 \choose 36}=\frac{256!}{\left(256-36\right)!\cdot36!}\approx10^{44}\]
מה הסיכוי שכל חלקיקי המומס נשארו ברבע הראשון של המיכל? הרבע הראשון מכיל 64 "תאים" אז אנחנו יכולים למקם 36 חלקיקים בתוך 64 תאים? כאן, יש לנו \({64 \choose 36}=10^{18}\) אפשרויות. כלומר, רק בחלק קטן מהאפשרויות,
\[\frac{10^{44}}{10^{18}}\approx10^{-26}\]

נקבל שכל המומס נשאר ברבע הראשון.

נמשיך הלאה. מה הסיכוי שכל חלקיקי המומס יהיו בחצי מיכל? ב-128 התאים הימניים? שוב,
\[\frac{{128 \choose 36}}{{256 \choose 36}}=\frac{\frac{128!}{\left(128-36\right)!36!}}{\frac{256!}{\left(256-36\right)!36!}}\approx\frac{8\cdot10^{31}}{10^{44}}\approx8\cdot10^{-13}\]

הסיכוי הרבה יותר גדול, אבל עדיין זעום!

image: 3_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_quarter.pngimage: 4_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_half.png
חלקיקי המומס מוגבלים לרבע המיכל (משמאל) או למחצית המיכל (מימין). כמות האפשרויות לסדר בהן את חלקיקי הגז תחת אילוץ כזה היא משמעותית קטנה יותר מאשר בערבוב מלא.
בשלב הבא, בוא נתפרע: נאפשר לחלקיקים להיות בכל האתרים, חוץ מבשורה התחתונה ביותר. הם יכולים לבחור כל מקום מלבד ב-16 אתרים! ההסתברות לכך היא
\[\frac{{240 \choose 36}}{{256 \choose 36}}\approx\frac{8\cdot10^{42}}{10^{44}}\approx0.082=8.2\%\]

כלומר, גם בשביל האפשרות המתירנית הזו, קיימים פחות מ-\(8\%\) שהיא תתרחש!

אפשר להכליל מעט את הטענה הזו: לכל "שורה" או "טור" בתוך המערכת שלנו, יש סיכוי של \(92\%\) שקיים חלקיק מומס בתוך השורה (או הטור) הזו. המומס הזה, הוא בכל מקום!
image: 5_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_last_line.pngimage: 6_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_max_entropy_2.png
מימין: חלקיקי המומס אינם יכולים להתערבב לתוך השורה האחרונה. משמאל: סידור אקראי נוסף של חלקיקי המומס בכל שטח המערכת. יש לי \(10^{44}\) תרשימים כאלו, אז אפשר לבזבז עליכם עוד אחד.
כלומר, אם נסתכל על מצבים אקראיים של המערכת, נגלה שברוב המכריע של המצבים, המומס מפוזר בכל המערכת. יתר על כן, ככל שנגדיל את המערכת, הסיכויים למצוא את המומס מחוץ לאזור מסויים יורדים במהירות. במערכות פיזיקאליות אמיתיות יש סדר גודל של מספר אבוגדרו4, \(N_{A}\sim10^{23}\) חלקיקים. לכן, כל מצב שאינו "הסביר ביותר" מתרחש בהסתברות זניחה. זניחה מאוד.
image: 7_home_ronen_Dropbox_blog_microcanonical_probability.png
ההסתברות לכך ש-\(\frac{N}{50}\) חלקיקי מומס ימצאו ברבע הראשון של המערכת כפונקציה של מספר האתרים במערכת, \(N\).
אם כן, אם חלקיקי הנוזל או חלקיקי המומס לא מושכים אלו את אלו, ואם אין "שדה חשמלי" או גורם אחר שישנה את מהירויות החלקיקים, לא מדובר כאן באנרגיה שהגיע לאיפשהו, כי אם למעבר של המערכת ממצב נדיר ("כל חלקיקי המומס מפוזרים בפינה") למצב שכיח ("חלקיקי המומס מפוזרים באופן אחיד"). האנרגיה של המערכת נשארה כשהיתה, לגודל הפיזיקאלי שגדל אנחנו קוראים אנטרופיה, היא מדד לכמה המערכת נמצאת במצב שכיח.
בהמשך, נכליל את הבעיה: נגדיר במדויק את האנטרופיה ונחשב אותה ואת השינוי של האנטרופיה בתהליך. לאחר מכן, נוסיף לקדרה גם טמפרטורה ואנרגיה (שיכולה להשתנות) נטבל בקצת שדה מגנטי ובעיקר: נדון בדרך כללית לטיפול בבעיות של מכניקה סטטיסטית בשיווי משקל.

הערות

1. ברשומה הקודמת זה הוזכר רק שוליים, אז אני אציין את זה גם כאן: האלקטרונים במודל דרודה, בדומה למולקולת בממס, נעים כל הזמן במהירות עצומה לכיוונים אקראיים. ללא כוח חיצוני (כמו השדה החשמלי במקרה של מודל דרודה) מהירות אקראית, ולכן סכום המהירויות / המהירות הממוצעת היא אפס, והם "לא מתקדמים לשום מקום".
2. בנתיים, אתם מוזמנים לקרוא את הפוסט על הילוך שיכור אצל גדי, למרות שהוא משמיט את החלקים שחשובים לדיון שלנו.
3. עם אינטראקציה קצרת טווח, אם רוצים לדייק בניואנסים.
4. מספר אבוגדרו מוגדר להיות מספר החלקיקים במול אחד, או, מספר החלקיקים ב-12 גרם של פחמן-12 טהור. \(N_{A}\approx6\cdot10^{23}\) (חלקיקים למול) נותן לנו סדר גודל למספר החלקיקים הנפוץ ב"מערכת תרמודינמית".

תגובה אחת על הפוסט “מתפזרים

סגור לתגובות.