מתפזרים

יעקוב שאל אותי שאלה מעניינת, והיא נראתה לי כמו סיבה מספיק טובה לכתוב פוסט (ואולי אף סידרה של פוסטים). יעקוב שאל:
יש לך מיכל עם תמיסה מימית עם ריכוז גבוה של חומר מסויים באיזור אחד של התמיסה, ונניח שהחומר הזה לא מגיב עם מים או מתפרק במים. עכשיו, אחרי זמן מסויים אפשר יהיה להגיד שהריכוז של החומר הזה בתמיסה יהיה אחיד. אני יודע שבנוזלים המולקולות נעות בחופשיות בין עצמן, אבל כדי שריכוז התמיסה יהיה אחיד, צריך שרמת המקרו תהיה כאן תנועה של מולקולות החומר המומס מהאיזור שבו הריכוז שלו היה גבוה אל שאר המיכל. מה שקרה כאן בגדול זה שהנוזל התערבב עם עצמו, אז הענקת אנרגיה קינטית למולקולות של הנוזל.
אין כאן דרישה של אנרגיה כלשהי? מאיפה באה האנרגיה הזאת?
לפני שנענה על השאלה הזו אני רוצה לעצור שניה, ולהתחפש לרשומה מהבלוג השכן, ולדבר קצת על קומבינטוריקה בסיסית. גדי הציג את הנושא במספר פוסטים נפלאים. אם אתם מתקשים לעקוב אחרי החישובים שלי, אתם מוזמניים לקרוא אצלו, ואם אתם רוצים להרחיב על הנושא, אז אפשר גם.

להמשיך לקרוא

פסטיבל אייקון 2012 – תגליות

בחול המועד סוכות, בשני עד הרביעי באוקטובר, יתקיים בפעם ה-16 פסטיבל אייקון למדע בדיוני ופנטזיה. והפעם, נושא הפסטיבל הוא תגליות. בכל שנה פסטיבל אייקון מציע הרצאות על מדע פופולארי בכלל ובפיזיקה בפרט, אך הפעם, אולי לרגל הנושא ה"קל", המבחר עשיר וכיפי במיוחד.

להמשיך לקרוא

אז מה יקרה אם כל הקרחונים (הצפים) ימסו?

הרי-ענק של קרח צפים להם על פני האוקיינוסים, שקועים ברובם מתחת לפני הים. רוב הקרחון שקוע מתחת לפני הים, כאשר רק חלק קטן ממנו, קצה הקרחון שגודלו אחוזים בודדים מגודלו של הקרחון כולו, נגלה מעל פני הים. אך גם גודלו של חלק קטן זה אינו מבוטל: קרחונים נפוצים נישאים עד לגובה של 75 מטר מעל פני הים, וישנם קרחונים שגודל החלק הצף שלהם גדול בהרבה1. אם כך, הקרחון טומן בחובו נפח עצום של מים שנשמר באופן מתמיד מעל פני הים. לו הים הקרחון נמס, נפח המים העצום הזה היה מתווסף לנפחו של הים, ואז מה היה קורה לפני הים?
image: 0_home_ronen_Dropbox_blog_icebergs_412px-Iceberg.jpg
פוטומונטג' המתאר קרחון-צף המציץ, בחלקו הקטן, מעל פני המים. מתוך: ויקיפדיה. רשיון: CC-by-SA
התשובה המפתיעה היא שלא יקרה כלום. קרחון-צף שנמס2 בתוך הים לא משנה את מפלסו כלל. עיקרו של הטיעון נובע מכך שהקרחון צף מאחר והוא צפוף פחות מאשר מי הים הסובבים אותו. כאשר הקרחון נמס כולו למים, אומנם כל חלקו החשוף לאוויר נמצא עכשיו מתחת לפני הים אך ירידת הנפח של הקרחון מקזזת בדיוק את הנפח הנוסף. כדי להבין את הטיעון הזה בדיוק, יש לדון בחוק ארכימדס.

להמשיך לקרוא

מודל דרודה והולכה חשמלית במתכות

אחד מהעיסוקים המרכזיים של פיזיקה של מצב מוצק הוא בתכונות האלקטרוניות של מוצקים: החל מתופעות יומיומיות יחסית כמו הולכה חשמלית של מתכות, וכלה בתופעות אקזוטיות בהרבה כמו מוליכי על או מבודדים טופולוגיים. הבעיה העיקרית בבואנו לנתח מבנה של חומר מוצק הוא הגודל העצום של המערכת מחד, והאינטראקציות החזקות בין מרכביה השונים מאידך. כשאנו רוצים להבין הולכה בגביש, לא מספיק להבין כיצד מתנהג אלקטרון אחד במסגרת הכוחות הפועלים עליו: יש להבין כיצד 10^{23} אלקטרונים זזים יחדיו ומשפיעים זה על זה, וזה כבר אתגר גדול בהרבה.

לו ניתן היה לחשב את הכוחות הפועלים על כל האטומים והאלקטרונים במוצק, ואז לגזור מהם את משוואות התנועה ולקבל במפורש ביטוי המתאר את התנועה של כל אחד ואחד מהאלקטרונים, די היה לנו בכך. אך בבירור הדבר אינו אפשרי, ועל כן, על מנת להבין תופעות פיזיקליות ולבצע חישובים אודותיהם, יש לתאר את המערכת באמצעות מודלים מופשטים יותר, ולפתח שיטות מחוכמות לפתרונם.

כבעיית פתיחה, אני רוצה להציג בפניכם את המודל של דרודה להולכה במתכות. אך לפני שאתחיל לפרט את המודל, חשוב לי להבהיר נקודה אחת: המודל הזה שגוי. הוא שגוי הן בהנחות היסוד שלו, הן בטיפול הקלסי בבעיה (טיפול קלסי, להבדיל מטיפול קוונטי1 ) והן בתוצאות שהוא מנבא. אך למרות כל זאת, יש טעם לדון בו: הוא מאפשר דיון איכותי ואינטואיטיבי למדי במספר מאפיינים ותופעות מעניינות למדי. תופעות שמודלים אחרים שמתארים אותם פותחו בשלב מאוחר יותר, והם מסובכים וקשים בהרבה להבנה.

להמשיך לקרוא

מה בעצם עושה בוזון היגס?

"רגע, אז בוזון היגס. לא ידעו כבר בעצם שיש חלקיק כזה?"

"ידעו שמשהו מטיל על קיר המערה צל של פיל. אבל עכשיו גם הצליחו להריח שזה משהו, שב-99.9999% מריח כמו פיל".

הרשומה הזו תעסוק בבעיה ברשימת החלקיקים שהוצגה ברשומה הקודמת, ובעדויות שגרמו לפיזיקאים לחשוב שאולי אי-שם יש פיל שמטיל צל. בראשית יולי 2012 התקדמנו צעד נוסף בנסיון להבין מה זה הדבר הזה שמטיל "צל של פיל", והוצגו ראיות לכך שכנראה לא מדובר באיזה גזיר-נייר שמטיל צל דומה. על ראיות ישירות יותר לקיומו של בוזון היגס, הראיות שהתגלו לאחרונה, אדון בפעם אחרת.

את גן החיות שלנו כבר ראינו: החלקיקים היסודיים שהתגלו לפני תחילת יולי 2012, מחולקים לשלושה סוגים: לפטונים (כמו האלקטרון), קווארקים (ששניים מהם מרכיבים מרכיבים את הפרוטון והניוטרון שבגרעין האטום, אבל יש גם אחרים) ובוזונים, שמקיימים את האינטראקציות בין החלקיקים האלו (כמו הפוטונים, שמעבירים את הכוח האלקטרומגנטי. אתם מכירים אותם בתור אור, או משיכה חשמלית).

אך רשימה של חלקיקים היא עדיין לא תאוריה פיזיקאלית: היא אינה מאפשרת לחשב במדויק את משוואות התנועה של חלקיק, או לשאול שאלות כגון "נניח ויש לי כאן אלקטרון עכשיו, מה הסיכוי שיהיה לי שם מיואון אחר כך"1. שאלות כאלו, שניתן לחשבן בדיוק טוב מחד, ולבדוק אותן בניסוי מאידך, הן הבסיס לתאוריה מדעית.

את התשובות לשאלות הללו, ורבות אחרות, נוהגים פיזיקאים לחשב מתוך ביטוי מתמטי שנקרא לגראנז'יאן, המתאר הן את תכונות החלקיקים עצמם: את המסה שלהם, המטען החשמלי שלהם וכו', והן את האינטראקציות בינהם. למשל, איבר בלגרנז'יאן יכול לציין "לאלקטרונים יש מסה m_{e}", ואילו איבר אחר יציין "אלקטרון, פוטון ואנטי-אלקטרון יכולים לבצע אינטראקציה שעוצמתה תלויה בגודל e", ואז נכנה את e "המטען החשמלי של האלקטרון.

ואכן, תורה מתמטית כזו מתארת בצורה מצוינת את ההתנהגות של אלקטרונים ושל פוטונים, ונקראת אלקטרודינמיקה קוונטית (או, QED בקיצור). הלגרנז'יאן המתאר את התורה הוא

\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\left(i\gamma_{\rho}\partial^{\rho}-e\gamma_{\rho}A^{\rho}-m_{e}\right)\psi

ומכיל כל מני פרמטרים: מסת האלקטרון m_{e} ומטען האלקטרון e. הביטוי F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} מתאר את ההתנהגות של הפוטונים (או השדה האלקטרומגנטי), הביטוי \bar{\psi}e\gamma_{\rho}A^{\rho}\psi מתאר את האינטראקציה בין אלקטרונים לפוטונים והביטוי \bar{\psi}m_{e}\psi מתאר את המסה של הפוטונים. מתוך ביטוי זה ניתן לחלץ, למשל, את משוואות מקסוול, המשוואות הקלאסיות המתארות את השדות החשמליים, המגנטיים והאינטראקציות בינהם ובין מטענים חשמליים.

אך כאשר מוסיפים עוד חלקיקים ועוד כוחות לקדרה, ומנסים לכתוב לגרנז'יאן שמקיים את כל חוקי הטבע, העסק מתחיל להסתבך:

בראשית שנות השבעים עבדואבדוס סאלם, שלדון גלאשו וסטיבן ווינברג על התורה המתמטית המתארת את הכוח הגרעיני החלש. כוח זה, בו כבר דנו ברשומה הקודמת, מאפשר אינטראקציה בין סוגים שונים של לפטונים (מיואונים, אלקטרונים, ניוטרינים וכו') ובין קווארקים משורות שונות של הטבלה, והוא מועבר על ידי שלושה בוזונים, W^{+},W^{-} ו-Z^{0}. לגרנז'יאן תקני צריך לא רק להציג את תכונות החלקיקים והאינטראקציות בינהם, כי אם גם לשמור על סימטריה מסויימת בין החלקיקים, סימטריה החיונית לכך שהתורה תהיה תקינה 2. למרבה הצער, את הדרישה האחרונה הם לא הצליחו לקיים במידה ולחלקיקים וללפטונים יש מסה. עדויות נסיוניות כבר הראו שלחלקיקים אלו (למשל, אלקטרונים!) יש מסה, ועל כן החוקרים נדרשו לבסס מסה זו בתוך התאוריה.

כדי לפתור את הבעיה הזו הזו הוצע מנגנון היגס. מנגנון זה, שהוצג לראשונה על ידי פיליפ אנדרסון ושוכלל על ידי פיטר היגס (ושלוש קבוצות אחרות) מציג את הפתרון הבא: במקום כתיבת ביטוי מתמטי המתאר כל אחד מהפרמיונים ואת מסתו, הציע היגס בוזון חדש, שיבצע אינטראקציה עם הלפטונים (אך גם עם הקווארקים והבוזנים המעבירים את הכוח החלש, W^{+},W^{-} ו-Z). האינטראקציות עם בוזון ההיגס יוצרת אפקט דמוי-מסה שמסביר את המדידות.

פיטר היגס. האדם היחיד על שמו נקרא בוזון. מתוך ויקיפדיה . רשיון: CC-BY-SA. ‏

מסת החלקיקים עצמם עדיין מופיעה כקבוע בתאוריה, אך לא כמאפיין של חלקיק בודד, אלא כקבוע המתאר את חוזק האינטראקציה עם חלקיק חדש, שנברא לצורך העניין: בוזון היגס.

הלגרנז'יאן המלא, המתאר את הכוח האלקטרומגנטי, את הכוח הגרעיני החלש ואת בוזון היגס והאינטראקציות איתו, מסובך בהרבה מהלגרנז'יאן הפשוט המוצג למעלה. הבנה ותצפית ישירה (יחסית) של כל אחד מהחלקיקים המופיעים בו ושל האינטראקציות ביניהם, היא מההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה בעשורים האחרונים.

למרות כל זאת, עד ראשית יולי 2012, הבוזון שהציע היגס היה תכסיס מתמטי שאפשר לסאלם, גלאשו וווינברג למלא אחר הדרישות הסותרות של הכוח הגרעיני החלש: סימטריה בין החלקיקים מחד, ומסה עבור החלקיקים מאידך. טריק מתמטי זה אפשר לחשב חישובים הנוגעים למודל הסטנדרטי בדיוק מדהים, דבר שרק ביסס את ההנחה שחלקיק שכזה באמת צריך להיות קיים. עד לאחרונה, העדויות לקיומו של בוזון היגס היו רק אינטראקציה עקיפה עם חלקיקים אחרים, השפעות שיכולות היו להיות מוסברות גם באמצעות תאוריות אחרות, אם כי אלגנטיות פחות ואהובות פחות. על אף כל זאת, אי-גילוי ההיגס היה מחזיר פיזיקאים רבים ל"שולחן השרטוט", על מנת למצוא תאוריה חליפית שתספק את אותן תחזיות שסיפק המודל הסטנדרטי, אך בלי הבוזון הנעדר.

כובע מקסיקני. מרכיב חשוב במודל הסטדנרטי, ובהופעה של בוזון היגס בפרט. ‏

עד ראשית יולי, סברו פיזיקאים רבים שהתופעה הזו, שנראית כמו "צל של היגס" על קיר המערה היא אכן בוזון היגס, אך לא היתה להם עדות נוספת שזה אכן בוזון היגס שמטיל את הצל. ביום רביעי שעבר הוצגה ראיה נוספת: במאיץ ההדרונים הגדול בצרן הצליחו לייצר בוזון היגס ולצפות במה שהוא כנראה תוצרי ההתפרקות שלו. עכשיו, יש לנו עדות נוספת, גם אם עקיפה, שבוזון-היגס אכן קיים.

על מאיצי חלקיקים וגלאים, ועל הצורה שבה נתגלה בוזון היגס, נדון בפעם אחרת.

הערות

1 כמובן שאנחנו צריכים לציין דברים הרבה יותר מדויקים מ"שם" ו"אחר כך". ניסוח יותר מדויק של השאלה יהיה "מה הסיכוי שאלקטרון שמצא בנקודה \left(0,0,0\right) בזמן 0 יהפוך למיואון בנקודה \left(1,1,1\right)\textrm{\AA} בזמן t=0.001\mbox{sec}.

2 אני נאלץ לנפנף כאן קצת בידיים. אני אשתדל לבסס בהמשך את מהות התאוריה הזו, הלגראנז'יאן של הכוח הגרעיני החלש, ולדון בתכונות שהיא נדרשת לקיים כדי להיות תאוריה תקינה.

גן חיות של חלקיקים

כל החומרים שאנחנו מכירים בחיי היום-יום מורכבים מאטומים. — האטום מורכב מאלקטרונים, פרוטונים וניוטרונים. במחקרים שנעשו במאיצי חלקיקים במאה שחלפה מאז גילוי המבנה האטומי של החומר, התברר שגם הניוטרונים והפרוטונים לא ממש "יסודיים", ושליד האלקטרונים יש חלקיקים דומים שמכונים "לפטונים". כיום, מקובל לסדר את "גן החיות" הזה של חלקיקים במודל מכונה "המודל הסטנדרטי", והוא מתואר על ידי התרשים הבא:

המודל הסטנדרטי, מתוך ויקיפדיה,  רשיון: CC BY 3.0

המודל הסטנדרטי. מתוך ויקיפדיה . רשיון: CC-By. ‏

להמשיך לקרוא